Математика / Линейная алгебра

Калькулятор матриц

Складывайте, вычитайте, умножайте и транспонируйте матрицы, находите определитель, обратную матрицу, ранг и приведённую ступенчатую форму или решайте систему линейных уравнений — с точными дробями и подробным пошаговым решением.

Калькулятор матриц: Все вычисления выполняются с точными дробями, поэтому результаты вроде 1/3 никогда не округляются. Определители, обратные матрицы, ранг и решения систем уравнений находятся методом исключения Гаусса: записываются все перестановки строк, умножения строк на число и вычитания строк. Система может иметь одно решение, не иметь решений или иметь бесконечно много решений — в последнем случае каждая ведущая переменная выражается через свободные переменные. Результаты проверены с помощью системы компьютерной алгебры SymPy на 250 случайных матрицах. Работает на 100% локально в вашем браузере, файлы на сервер не загружаются.

Категория
Инструменты для учёбы и школы
Запуски
В вашем браузере
Стоимость
Бесплатно · без регистрации
Доступность
Готово к использованию
Калькулятор матрицЛокальная обработка

Полностью работает в браузере

A×
b

x1 = 2

x2 = 3

x3 = -1

Показать шагов: 9
  1. R1 ÷ 2
    11/2-1/24-3-12-11-212-3
  2. R2 − -3 × R1
    11/2-1/2401/21/21-212-3
  3. R3 − -2 × R1
    11/2-1/2401/21/210215
  4. R2 ÷ 1/2
    11/2-1/2401120215
  5. R1 − 1/2 × R2
    10-1301120215
  6. R3 − 2 × R2
    10-13011200-11
  7. R3 ÷ -1
    10-130112001-1
  8. R1 − -1 × R3
    10020112001-1
  9. R2 − 1 × R3
    10020103001-1

Все вычисления выполняются с точными дробями, поэтому результаты вроде 1/3 не округляются. Размер матриц — до 6 × 6.

Решение системы вручную

Запишите коэффициенты и правые части в виде расширенной матрицы, затем выполните три элементарных преобразования строк: поменяйте местами две строки, умножьте строку на ненулевое число или прибавьте к одной строке другую, умноженную на число, пока каждый ведущий элемент не станет равен 1, а выше и ниже него не появятся нули. Каждый столбец без ведущей 1 соответствует свободной переменной.

Для отдельных дробей калькулятор дробей тоже показывает решение пошагово; чтобы представить систему с двумя переменными как пересечение прямых, постройте её на графическом калькуляторе.

Определители и площади

Определитель матрицы 2 × 2 равен ad − bc; его абсолютное значение — это площадь параллелограмма, образованного двумя вектор-столбцами, а для матрицы 3 × 3 — объём. Отрицательный знак означает, что матрица меняет ориентацию, как зеркало.

Как пользоваться

  1. Задайте размер матрицы A (до 6 × 6) и введите её элементы; подойдут дроби, например 2/3.
  2. Выберите операцию; матрица B или вектор b появится, если они нужны для выбранной операции.
  3. Просмотрите результат и откройте пошаговое решение, чтобы увидеть каждую операцию над строками.

Конфиденциальность и ограничения

Все вычисления выполняются в вашем браузере.

Похожие инструменты

Калькулятор дробейНаучный калькуляторГрафический калькуляторСистемы уравнений

Часто задаваемые вопросы

Когда у матрицы нет обратной матрицы?

Когда её определитель равен 0. Это происходит, если одна строка (или один столбец) является комбинацией других: матрица сжимает пространство до меньшего числа измерений, и операцию нельзя обратить.

Что показывает ранг?

Количество линейно независимых строк или столбцов. Система Ax = b имеет решение только в том случае, если добавление b в качестве столбца не увеличивает ранг. Решение единственно, когда ранг равен числу неизвестных.

Можно ли использовать десятичные дроби?

Да: десятичные дроби преобразуются в точные обыкновенные дроби (0.25 становится 1/4), а параметр «Показывать десятичные дроби» снова отображает результаты в десятичном виде.

Бесплатный инструмент · запусков: в вашем браузере · аккаунт не нужен