Mathematik / Lineare Algebra

Matrixrechner

Addiere, subtrahiere, multipliziere und transponiere Matrizen. Bestimme außerdem Determinante, Inverse, Rang und reduzierte Zeilenstufenform oder löse ein lineares Gleichungssystem – mit exakten Brüchen und vollständig angezeigten Rechenschritten.

Matrixrechner: Alle Berechnungen verwenden exakte Brüche. Ergebnisse wie 1/3 werden daher niemals gerundet. Determinanten, Inversen, Rang und Gleichungssysteme werden mithilfe des Gauß-Eliminationsverfahrens bestimmt. Dabei werden jede Zeilenvertauschung, Skalierung und Subtraktion aufgezeichnet. Ein Gleichungssystem kann genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben. In diesem Fall wird jede führende Variable durch die freien Variablen ausgedrückt. Die Ergebnisse wurden anhand von 250 zufälligen Matrizen mit dem Computeralgebrasystem SymPy überprüft. Läuft zu 100% lokal in deinem Browser, ohne Datei-Uploads zum Server.

Kategorie
Werkzeuge für Schule & Lernen
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MatrixrechnerLokale Verarbeitung

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A×
b

x1 = 2

x2 = 3

x3 = -1

9 Schritte anzeigen
  1. R1 ÷ 2
    11/2-1/24-3-12-11-212-3
  2. R2 − -3 × R1
    11/2-1/2401/21/21-212-3
  3. R3 − -2 × R1
    11/2-1/2401/21/210215
  4. R2 ÷ 1/2
    11/2-1/2401120215
  5. R1 − 1/2 × R2
    10-1301120215
  6. R3 − 2 × R2
    10-13011200-11
  7. R3 ÷ -1
    10-130112001-1
  8. R1 − -1 × R3
    10020112001-1
  9. R2 − 1 × R3
    10020103001-1

Alles wird mit exakten Brüchen berechnet, daher werden Ergebnisse wie 1/3 nicht gerundet. Matrizen können bis zu 6 × 6 groß sein.

Ein Gleichungssystem von Hand lösen

Schreibe die Koeffizienten und rechten Seiten als erweiterte Matrix und verwende dann drei elementare Zeilenumformungen: zwei Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer von null verschiedenen Zahl multiplizieren oder ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren. Wiederhole dies, bis jeder führende Eintrag 1 ist und darüber und darunter nur Nullen stehen. Jede Spalte ohne führende 1 entspricht einer freien Variablen.

Für einzelne Brüche funktioniert auch der Bruchrechner Schritt für Schritt. Um ein Gleichungssystem mit zwei Variablen als sich kreuzende Geraden zu sehen, zeichne es im Graphenrechner.

Determinanten und Flächen

Die Determinante einer 2 × 2-Matrix ist ad − bc. Ihr Betrag entspricht der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Spaltenvektoren aufspannen; bei einer 3 × 3-Matrix entspricht sie einem Volumen. Ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass die Matrix die Orientierung umkehrt – wie ein Spiegel.

So benutzt du es

  1. Lege die Größe der Matrix A fest (bis zu 6 × 6) und gib ihre Werte ein; Brüche wie 2/3 funktionieren.
  2. Wähle eine Operation. B oder der Vektor b wird angezeigt, wenn die Operation ihn benötigt.
  3. Lies das Ergebnis ab und öffne die Rechenschritte, um jede Zeilenoperation nachzuvollziehen.

Datenschutz & Einschränkungen

Alles wird in deinem Browser berechnet.

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Häufige Fragen

Wann hat eine Matrix keine Inverse?

Wenn ihre Determinante 0 ist. Das geschieht, wenn eine Zeile oder Spalte eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten ist. Die Matrix bildet den Raum dann auf weniger Dimensionen ab, und die Operation kann nicht rückgängig gemacht werden.

Was sagt mir der Rang?

Der Rang gibt die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten an. Ein System Ax = b hat nur dann eine Lösung, wenn sich der Rang durch das Ergänzen von b als Spalte nicht erhöht. Die Lösung ist eindeutig, wenn der Rang der Anzahl der Unbekannten entspricht.

Kann ich Dezimalzahlen verwenden?

Ja. Dezimalzahlen werden in exakte Brüche umgewandelt (0,25 wird zu 1/4). Mit der Option „Dezimalzahlen anzeigen“ kannst du die Ergebnisse wieder als Dezimalzahlen darstellen.

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