數學 / 微積分
含驗證與步驟的積分計算機
尋找含積分常數的原函數，或計算有限上下限之間的定積分。查看辨識出的規則與陰影面積圖。
含驗證與步驟的積分計算機: 輸入函數即可取得積分結果與方法說明，例如部分分式、三角恆等式或分部積分。計算定積分時，輸入積分上下限即可在圖表中查看陰影面積。每個答案都會先透過反向微分，並在數個點與您的函數比較來完成檢查，確認後才會顯示。 全程在瀏覽器中於本機執行，檔案不會上傳至伺服器。
- 分類
- 學校與讀書工具
- 使用次數
- 在瀏覽器中
- 費用
- 免費・免註冊
- 可用狀態
- 可立即使用
全程在瀏覽器中執行
單一變數的實值運算式。最多512個字元。不支援無限上下限、奇異區間和一般分段運算式。
原函數與面積
不定積分描述一族F(x) + C，其中F′(x) = f(x)。在不連通的定義域區間上，常數可能不同。定積分是帶符號的面積；反轉積分上下限會使其符號反轉。
OpenStax《微積分》第1卷，第5章：https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-introduction
方法與限制
規則引擎會對分母次數至多為四、且具有乾淨實因子的式子執行多項式長除法與部分分式分解。它會建立標準根式原函數、指數－三角函數公式、三角函數冪次降階，以及重複分部積分表。每個結果都會通過微分回代的數值驗證；數值根重建與取樣驗證並非證明。僅使用函式庫的推導仍只是大綱。
OpenStax《微積分》第2卷，第3章：https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/3-introduction
Nerdamer 2.0.0：Apache-2.0；請保留授權條款與適用的聲明。文件：https://nerdamer.com/documentation
使用方式
- 輸入被積函數、變數與角度單位。
- 選擇不定積分，或輸入有限上下限以計算定積分。
- 查看經驗證的原函數或數值結果、誤差估計與推導過程。
隱私與限制
計算會在您的瀏覽器中執行。表示式與上下限不會上傳。
相關工具
常見問題
「找不到閉形式」是什麼意思？
規則引擎與函式庫都沒有傳回通過驗證的原函數。這不代表原函數不存在。精確辨識器會另外辨識已知的非初等函數案例，例如exp(-x^2)、sin(x)/x、x^x、ln(cos(x))與1/ln(x)。有限定積分仍可用數值方式計算。
這些步驟是函式庫的推導過程嗎？
規則引擎的結果會顯示實際用來建立答案的除法、部分分式係數、代換、恆等式或分部積分表。僅由函式庫產生的結果會標示為概要；我們不會宣稱其中包含函式庫的內部推導過程。
可以使用無限上下限或跨過極點嗎？
目前不支援無限上下限與瑕積分。定義域檢查會拒絕包含極點或未經認證的區間。sin(x)/x的可去間斷點會明確填入其連續值，在0處為1。
數值誤差估計有多可靠？
自適應Simpson法會以1e-8的絕對容許誤差比較連續近似值。這項估計不是嚴格的誤差上界；高度振盪或很窄的特徵可能會被漏掉。當達到遞迴深度或評估次數上限時，計算會停止。
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