統計 / 機率

二項分布計算機：機率、CDF與分位數

計算二項分佈的P(X=x)、P(X≤x)與反向累積次數。設定試驗次數與成功機率，也可編輯預設範例。

二項分布計算機：機率、CDF與分位數: 二項分佈用來計算在固定次數、且每次具有相同成功機率的獨立試驗中，成功的次數。擲10次公平硬幣就是常見範例：當n=10且p=0.5時，恰好出現5次正面的機率是0.24609375。本頁從這個範例開始，但所有參數都可以編輯。PD代表恰好成功x次的機率。CD代表最多成功x次的機率，其中包括x本身。若要計算至少成功x次，請以1減去CD(x−1)。反向模式會回傳累積機率達到或超過您輸入機率的最小整數次數；這個定義適用於離散分佈中的跳躍情況。您可以使用此模型計算重複且彼此獨立的檢查，例如在固定故障模型下計算成功元件的數量。如果每次試驗的機率不同，或各次結果彼此相依，二項分佈的假設就不成立。[排列組合計算機](/permutation-combination-calculator)會說明組合項目，[科學計算機](/scientific-calculator)則提供其他分佈與統計摘要。 全程在瀏覽器中於本機執行，檔案不會上傳至伺服器。

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0.24609375

常態PD是密度，不是單點機率。CD包含上端點。離散反函數會回傳CDF ≥ p的最小整數；請使用0 < p < 1。經測試的中央機率絕對精確度約為12位小數；極端尾端可能失去精確度。

NIST DLMF：伽瑪函數和貝塔函數

專用計算機頁面
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二項模型

NIST《Engineering Statistics Handbook》的〈Binomial Distribution〉（https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366i.htm）記錄機率質量函數及其假設。各次試驗必須彼此獨立，且成功機率固定。

累積機率

NIST DLMF的〈Incomplete Beta Functions〉（https://dlmf.nist.gov/8.17）說明用於二項分布累積計算的特殊函數。對數伽瑪函數計算可支援較大的計數值；中央範圍測試的目標是絕對精確度約1e-12。

使用方式

  1. 輸入試驗次數n與成功機率p。
  2. 選擇PD以計算恰好成功x次，選擇CD以計算最多成功x次，或選擇反向模式以輸入累積機率。
  3. 查看機率或次數並複製結果，也可以切換至常態與Poisson模型。

隱私與限制

試驗次數與機率會在您的瀏覽器中計算，不會上傳。

相關工具

科學計算機常態分布nPr與nCrP值

常見問題

n、p與x可以輸入哪些值？

n是介於0到一千萬之間的整數。p介於0與1之間，包含兩個端點。在PD模式中，x是整數形式的成功次數；不可能的次數，其機率為0。CD會包含所有不超過輸入門檻的整數次數。

這是常態近似嗎？

不是。單點機率會透過對數伽瑪運算使用二項式公式；累積機率則使用不完全beta函數。這些方法不需要明確建立巨大的階乘，但最後的結果仍是十進位近似值。

為什麼反向模式回傳的次數，其機率可能高於我的目標？

離散CDF會在每個整數位置跳躍。通常沒有任何次數能完全符合目標，因此反向模式會選擇第一個達到或超過目標的次數。請輸入嚴格介於0與1之間的機率。

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