數學 / 線性代數
聯立方程式計算機：2–4 個未知數與解題步驟
使用精確分數解出含有二、三或四個未知數的線性方程組。查看消去步驟，並分辨唯一解、無解或無限多組解。
聯立方程式計算機：2–4 個未知數與解題步驟: 聯立方程式要求找出能同時滿足每個方程式的數值。這個工具會先以三元範例開始，顯示x₁ = 2、x₂ = 3及x₃ = −1。請將增廣矩陣替換成自己的係數與等號右側數值。以2x + y = 7為例，該列應輸入2 1 7；每一列都要維持相同的變數順序。缺少的變數必須輸入零係數。最後一個值永遠是等號右側，不是另一個未知數。消去法會縮放各列，並從一列減去另一列的倍數，直到每個主變數都被單獨解出。整個運算過程會完整保留分數與輸入的小數，因此像2/3這樣的結果仍會維持2/3。如果還需要計算矩陣乘積、行列式或反矩陣，請使用[矩陣計算機](/matrix-calculator)；若要將答案與其他函數結合，請使用[科學計算機](/scientific-calculator)。 全程在瀏覽器中於本機執行，檔案不會上傳至伺服器。
- 分類
- 學校與讀書工具
- 使用次數
- 在瀏覽器中
- 費用
- 免費・免註冊
- 可用狀態
- 可立即使用
全程在瀏覽器中執行
更多函數、常數和換算
引數之間請使用分號：ncr(52;5)、dms(30;15;30)、randint(1;6)。Rnd會四捨五入至選定的有效位數。在E中儲存值之前，E代表歐拉數；在C中儲存值之前，C代表光速。
- 最大公因數
- 6
- 最小公倍數
- 144
- 整數商和餘數
- 2; 12
- 48 = 2 × 18 + 12
- 18 = 1 × 12 + 6
- 12 = 2 × 6 + 0
常數：c、h、hbar (ħ)、qe（基本電荷）、me、mp、na、kb、gasr、grav (G)、g（標準重力）、eps0、mu0、amu和sigma。測量常數帶有不確定性；顯示的值並非精確值。 NIST／CODATA常數
請輸入或點選。乘法可以省略乘號，例如2π或3(4+1)；^表示次方，!表示階乘，%表示除以100。按Enter計算；按Escape清除。
- x1
- 2 ≈ 2
- x2
- 3 ≈ 3
- x3
- -1 ≈ -1
消去步驟
R1 ÷ 2
| 11 | 1/20.5 | -1/2-0.5 | 44 |
| -3-3 | -1-1 | 22 | -11-11 |
| -2-2 | 11 | 22 | -3-3 |
R2 − -3 × R1
| 11 | 1/20.5 | -1/2-0.5 | 44 |
| 00 | 1/20.5 | 1/20.5 | 11 |
| -2-2 | 11 | 22 | -3-3 |
R3 − -2 × R1
| 11 | 1/20.5 | -1/2-0.5 | 44 |
| 00 | 1/20.5 | 1/20.5 | 11 |
| 00 | 22 | 11 | 55 |
R2 ÷ 1/2
| 11 | 1/20.5 | -1/2-0.5 | 44 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 22 | 11 | 55 |
R1 − 1/2 × R2
| 11 | 00 | -1-1 | 33 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 22 | 11 | 55 |
R3 − 2 × R2
| 11 | 00 | -1-1 | 33 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 00 | -1-1 | 11 |
R3 ÷ -1
| 11 | 00 | -1-1 | 33 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 00 | 11 | -1-1 |
R1 − -1 × R3
| 11 | 00 | 00 | 22 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 00 | 11 | -1-1 |
R2 − 1 × R3
| 11 | 00 | 00 | 22 |
| 00 | 11 | 00 | 33 |
| 00 | 00 | 11 | -1-1 |
方程組使用精確有理數消去法。三次和四次方程式的根是經多項式檢查的數值近似值；重根或彼此接近的根精確度較低。
線性方程組
OpenStax《College Algebra》的〈Systems of Linear Equations: Three Variables〉（https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/7-2-systems-of-linear-equations-three-variables）介紹聯立方程式與相依方程組。書中的解題範例使用消去法。
列運算
OpenStax《College Algebra》的〈Solving Systems with Gaussian Elimination〉（https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/7-6-solving-systems-with-gaussian-elimination）說明增廣矩陣與基本列運算。本書採用CC BY 4.0授權。
使用方式
- 每列輸入一個方程式，依序輸入係數與等號右側的值。
- 方程式與未知數的數量必須相同，從二到四個皆可；支援小數與分數。
- 查看精確的變數值或方程組狀態，再開啟消去步驟。
隱私與限制
方程式會在您的瀏覽器中求解，不會上傳任何資料。
相關工具
常見問題
如何輸入三元方程組？
每列輸入四個值：依序輸入x₁、x₂和x₃的係數，接著輸入等號右側的值。請輸入三列。例如，2 1 -1 8代表2x₁ + x₂ − x₃ = 8。支援-1/2等分數格式。
無解代表什麼？
這些方程式彼此矛盾。消去過程中，如果某一列的係數全為零，但等號右側不是零，就代表0等於一個非零值。無論未知數取何值，都不可能滿足該列。
無限多組解代表什麼？
部分方程式重複了其他方程式已提供的資訊。一個或多個變數仍可自由指定，而主變數會以這些自由變數表示。自由變數標籤與消去步驟有助於說明這一整組解。
免費工具・使用在瀏覽器中次・免註冊