Mathematik / Lineare Algebra
Löser für Gleichungssysteme: 2–4 Unbekannte mit Rechenweg
Löse lineare Gleichungssysteme mit zwei, drei oder vier Unbekannten und exakten Brüchen. Sieh dir die Eliminationsschritte an und unterscheide zwischen einer eindeutigen Lösung, keiner Lösung und unendlich vielen Lösungen.
Löser für Gleichungssysteme: 2–4 Unbekannte mit Rechenweg: Gleichungssysteme suchen nach Werten, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Dieser Löser beginnt mit einem Beispiel mit drei Variablen und zeigt x₁ = 2, x₂ = 3 und x₃ = −1. Ersetze die erweiterte Matrix durch deine eigenen Koeffizienten und rechten Seiten. Für 2x + y = 7 lautet die Zeile 2 1 7; verwende in jeder Zeile dieselbe Reihenfolge der Variablen. Fehlende Variablen benötigen den Koeffizienten null. Der letzte Eintrag ist immer die rechte Seite und keine weitere Unbekannte. Beim Eliminationsverfahren werden Zeilen skaliert und Vielfache einer Zeile von einer anderen abgezogen, bis jede führende Variable isoliert ist. Brüche und eingegebene Dezimalzahlen bleiben während dieser Rechenschritte exakt erhalten, sodass ein Ergebnis wie 2/3 2/3 bleibt. Verwende den [Matrizenrechner](/matrix-calculator), wenn du zusätzlich Produkte, Determinanten oder Inversen benötigst, und den [wissenschaftlichen Taschenrechner](/scientific-calculator), um das Ergebnis mit anderen Funktionen zu kombinieren. Läuft zu 100% lokal in deinem Browser, ohne Datei-Uploads zum Server.
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Weitere Funktionen, Konstanten und Umrechnungen
Verwende Semikolons zwischen Argumenten: ncr(52;5), dms(30;15;30), randint(1;6). Rnd rundet auf die ausgewählte Anzahl signifikanter Stellen. E ist Eulersche Zahl, bis du einen Wert in E speicherst; C ist die Lichtgeschwindigkeit, bis du C speicherst.
- GGT
- 6
- KGV
- 144
- Ganzzahliger Quotient und Rest
- 2; 12
- 48 = 2 × 18 + 12
- 18 = 1 × 12 + 6
- 12 = 2 × 6 + 0
Konstanten: c, h, hbar (ħ), qe (Elementarladung), me, mp, na, kb, gasr, grav (G), g (Normfallbeschleunigung), eps0, mu0, amu und sigma. Gemessene Konstanten sind mit einer Unsicherheit behaftet; die angezeigten Werte sind nicht exakt. NIST-/CODATA-Konstanten
Tippe oder tippe auf eine Taste. Die Multiplikation kann implizit sein, etwa bei 2π oder 3(4+1); ^ steht für eine Potenz, ! für eine Fakultät und % teilt durch 100. Mit der Eingabetaste wird berechnet, mit Escape gelöscht.
- x1
- 2 ≈ 2
- x2
- 3 ≈ 3
- x3
- -1 ≈ -1
Eliminationsschritte
R1 ÷ 2
| 11 | 1/20.5 | -1/2-0.5 | 44 |
| -3-3 | -1-1 | 22 | -11-11 |
| -2-2 | 11 | 22 | -3-3 |
R2 − -3 × R1
| 11 | 1/20.5 | -1/2-0.5 | 44 |
| 00 | 1/20.5 | 1/20.5 | 11 |
| -2-2 | 11 | 22 | -3-3 |
R3 − -2 × R1
| 11 | 1/20.5 | -1/2-0.5 | 44 |
| 00 | 1/20.5 | 1/20.5 | 11 |
| 00 | 22 | 11 | 55 |
R2 ÷ 1/2
| 11 | 1/20.5 | -1/2-0.5 | 44 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 22 | 11 | 55 |
R1 − 1/2 × R2
| 11 | 00 | -1-1 | 33 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 22 | 11 | 55 |
R3 − 2 × R2
| 11 | 00 | -1-1 | 33 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 00 | -1-1 | 11 |
R3 ÷ -1
| 11 | 00 | -1-1 | 33 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 00 | 11 | -1-1 |
R1 − -1 × R3
| 11 | 00 | 00 | 22 |
| 00 | 11 | 11 | 22 |
| 00 | 00 | 11 | -1-1 |
R2 − 1 × R3
| 11 | 00 | 00 | 22 |
| 00 | 11 | 00 | 33 |
| 00 | 00 | 11 | -1-1 |
Systeme verwenden eine exakte rationale Elimination. Kubische und quartische Nullstellen sind numerische Näherungen, die am Polynom überprüft werden; mehrfache oder dicht beieinanderliegende Nullstellen sind weniger genau.
Lineare Gleichungssysteme
OpenStax College Algebra, Systems of Linear Equations: Three Variables (https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/7-2-systems-of-linear-equations-three-variables), führt in simultane Gleichungen und abhängige Gleichungssysteme ein. Die durchgerechneten Beispiele verwenden das Eliminationsverfahren.
Zeilenoperationen
OpenStax College Algebra, Solving Systems with Gaussian Elimination (https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/7-6-solving-systems-with-gaussian-elimination), erklärt erweiterte Matrizen und elementare Zeilenoperationen. Das Buch steht unter der Lizenz CC BY 4,0.
So benutzt du es
- Gib pro Zeile eine Gleichung ein: zuerst die Koeffizienten, dann die rechte Seite.
- Verwende zwei bis vier Gleichungen und ebenso viele Unbekannte; Dezimalzahlen und Brüche sind möglich.
- Lies die exakten Werte der Variablen oder den Status des Gleichungssystems ab und öffne anschließend die Eliminationsschritte.
Datenschutz & Einschränkungen
Die Gleichungen werden in deinem Browser gelöst und nicht hochgeladen.
Ähnliche Tools
Häufige Fragen
Wie gebe ich ein Gleichungssystem mit drei Variablen ein?
Gib pro Zeile vier Werte ein: die Koeffizienten von x₁, x₂ und x₃, gefolgt von der rechten Seite. Gib drei Zeilen ein. Zum Beispiel bedeutet 2 1 -1 8: 2x₁ + x₂ − x₃ = 8. Brüche wie -1/2 werden akzeptiert.
Was bedeutet „keine Lösung“?
Die Gleichungen widersprechen sich. Beim Eliminationsverfahren bedeutet eine Zeile mit null Koeffizienten und einer von null verschiedenen rechten Seite, dass 0 einem Wert ungleich null entspricht. Keine Wahl der Unbekannten kann diese Zeile erfüllen.
Was bedeutet „unendlich viele Lösungen“?
Einige Gleichungen enthalten Informationen, die bereits in den anderen Gleichungen enthalten sind. Eine oder mehrere Variablen bleiben frei, und die führenden Variablen werden durch diese freien Variablen ausgedrückt. Die Bezeichnungen der freien Variablen und die Eliminationsschritte helfen dabei, die Lösungsmenge zu verstehen.
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