Mathematik / Algebra
Löser für quadratische Gleichungen
Löse ax² + bx + c = 0 mit angezeigtem Rechenweg: Diskriminante, exakte Lösungen als vereinfachte Quadratwurzeln, Dezimalwerte, komplexe Lösungen, Scheitelpunkt und Graph.
Löser für quadratische Gleichungen: Der Löser verwendet die quadratische Lösungsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. Die Diskriminante b² − 4ac bestimmt die Art der Lösungen: zwei reelle Lösungen, wenn sie positiv ist, eine doppelte Lösung, wenn sie null ist, und zwei komplexe Lösungen, wenn sie negativ ist. Bei ganzzahligen Koeffizienten werden die Lösungen außerdem exakt angegeben, wobei die Quadratwurzel vereinfacht wird, zum Beispiel 1 ± √2. Die Dezimallösungen werden so berechnet, dass möglichst wenig Genauigkeit verloren geht, wenn b deutlich größer als a und c ist. Läuft zu 100% lokal in deinem Browser, ohne Datei-Uploads zum Server.
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x² − 3x − 4 = 0
Diskriminante: Δ = b² − 4ac = 9 + 16 = 25
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
x₁ = -1
x₂ = 4
Δ > 0: zwei reelle Nullstellen, an denen die Parabel die x-Achse schneidet.
Scheitelpunkt: (1,5, -6,25) · öffnet sich nach oben
Weitere Lösungswege
Die Faktorisierung ist am schnellsten, wenn die Nullstellen ganze Zahlen sind: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), also x = 2 oder 3. Durch quadratische Ergänzung wird ax² + bx + c in a(x − h)² + k umgeschrieben; damit erhältst du auch den Scheitelpunkt (h, k). Die Formel funktioniert immer, weshalb der Rechner sie verwendet.
Um die gesamte Kurve und ihre Schnittpunkte mit anderen Graphen zu sehen, verwende den Grafikrechner; um eine Wurzel von Hand zu vereinfachen, den Quadratwurzelrechner.
Summe und Produkt der Nullstellen
Bei jeder quadratischen Gleichung ergeben die beiden Nullstellen zusammen −b ÷ a und miteinander multipliziert c ÷ a. Eine schnelle Prüfung: Bei x² − 3x − 4 ergeben die Nullstellen 4 und −1 zusammen 3 und multipliziert −4.
So benutzt du es
- Gib a, b und c für ax² + bx + c = 0 ein; verwende negative Zahlen für Minuszeichen.
- Lies die Diskriminante und die Lösungen ab – exakt und als Dezimalwerte.
- Prüfe den Graphen: Die Lösungen liegen dort, wo die Parabel die x-Achse schneidet.
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Häufige Fragen
Was passiert, wenn a gleich 0 ist?
Dann ist die Gleichung linear: bx + c = 0. Sie hat die einzige Lösung x = −c ÷ b; der Löser weist darauf hin.
Wie gebe ich x² − 4x = 0 ein?
Gib a = 1, b = −4 und c = 0 ein; ein fehlender Term hat den Koeffizienten 0.
Was bedeuten komplexe Lösungen?
Die Parabel schneidet die x-Achse nie, daher gibt es keine reelle Lösung; die Lösungen lauten a ± bi, wobei i die Quadratwurzel aus −1 ist.
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