Statistiken / Beziehungen
Taschenrechner für lineare Regression (Ausgleichsgerade)
Passe eine Gerade per kleinsten Quadraten an gepaarte Daten an: Gleichung, Steigung und Achsenabschnitt mit Standardfehlern, R², p-Wert der Steigung, Vorhersagen, Streudiagramm mit Gerade und Residuen.
Taschenrechner für lineare Regression (Ausgleichsgerade): Bei der Methode der kleinsten Quadrate werden die Steigung b = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)² und der Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄ so bestimmt, dass die Gerade durch die Mittelwerte verläuft und die quadrierten vertikalen Abstände möglichst klein sind. R² ist 1 minus die Residuenquadratsumme geteilt durch die Gesamtsumme der Quadrate. Für die Beispieldaten lautet die Gerade y = 1,998x + 0,036 mit R² = 0,999. Die Standardfehler und der p-Wert stimmen mit SciPys linregress überein. Läuft zu 100% lokal in deinem Browser, ohne Datei-Uploads zum Server.
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| X | Y | Angepasst | Residuum |
|---|---|---|---|
| 1 | 2,1 | 2,0333 | 0,0667 |
| 2 | 3,9 | 4,031 | -0,131 |
| 3 | 6,2 | 6,0286 | 0,1714 |
| 4 | 7,8 | 8,0262 | -0,2262 |
| 5 | 10,1 | 10,0238 | 0,0762 |
| 6 | 12,2 | 12,0214 | 0,1786 |
| 7 | 13,8 | 14,019 | -0,219 |
| 8 | 16,1 | 16,0167 | 0,0833 |
Die Methode der kleinsten Quadrate wählt die Gerade, bei der die quadrierten vertikalen Abstände zu den Punkten möglichst klein sind: Steigung = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)². Die Gerade verläuft durch die Mittelwerte. R² ist der Anteil der Streuung von Y, den die Gerade erklärt. Vorhersagen außerhalb des Bereichs deiner X-Werte sind Schätzungen, und ein Muster in den Residuen bedeutet, dass eine Gerade die falsche Form hat.
Beispielrechnung
Gewicht in Abhängigkeit von der Körpergröße von 160–185 cm in 5er-Schritten mit den Gewichten 55, 60, 65, 72, 78 und 85 kg: Gewicht = 1,206 × Körpergröße − 138,8, R² = 0,996; bei 177 cm werden 74,6 kg vorhergesagt.
Um andere Funktionen darzustellen, verwende den Funktionsplotter.
Steigung und Korrelation
Die Steigung entspricht r × (Standardabweichung von Y ÷ Standardabweichung von X), daher ist der p-Wert der Steigung identisch mit dem der Korrelation. R² entspricht bei einer einfachen Geraden exakt r².
Um die Stärke des Zusammenhangs zu messen, ohne eine Gerade anzupassen, verwende den Korrelationsrechner.
So benutzt du es
- Füge die X-Werte und die Y-Werte in derselben Reihenfolge ein.
- Lies die Gleichung, R² und den p-Wert der Steigung ab.
- Gib einen X-Wert ein, um Y vorherzusagen, und überprüfe die Residuen.
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Häufige Fragen
Was sagt mir R²?
Es gibt an, welcher Anteil der Streuung von Y durch die Gerade erklärt wird: 0,9 bedeutet 90 %. Ein hohes R² beweist nicht, dass die Gerade das richtige Modell ist.
Kann ich Werte außerhalb meiner Daten vorhersagen?
Ja, aber Extrapolationen außerhalb des X-Bereichs sind riskant: Der Zusammenhang kann sich krümmen oder aufhören.
Wofür sind Residuen gut?
Residuen sind die vertikalen Abstände zwischen den einzelnen Punkten und der Geraden. Wenn sie ein Muster zeigen, etwa eine Kurve, hat eine Gerade die falsche Form.
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