Mathematik / Lineare Algebra

Komplexe-Zahlen-Rechner: Rechenoperationen, Polarformen und Wurzeln

Addiere, multipliziere und dividiere komplexe Zahlen, berechne Potenzen und Wurzeln, ermittle konjugierte Zahlen und Argumente und wandle zwischen kartesischer und polarer Form in Grad oder Bogenmaß um.

Komplexe-Zahlen-Rechner: Rechenoperationen, Polarformen und Wurzeln: Eine komplexe Zahl besteht aus einem Realteil und einem Imaginärteil: 3 + 4i hat den Realteil 3 und den Imaginärteil 4. Die grundlegende Regel i² = −1 macht aus Produkten gewöhnliche reelle Rechenoperationen. Zum Beispiel gilt (1 + 2i)(3 − i) = 5 + 5i. Die kartesische Form ist nützlich, wenn du Signale addierst oder reale und imaginäre Komponenten kombinierst. Die Polarform r∠θ beschreibt dagegen den Abstand vom Nullpunkt und die Richtung in der komplexen Ebene und ist nützlich für Potenzen, Drehungen und Zeiger. Das Startbeispiel liefert sofort ein Ergebnis und kann bearbeitet werden. Wähle den Wurzelexponenten, um alle n Wurzeln aufzulisten, deren Winkel gleichmäßig auf einem Kreis verteilt sind. Für die anderen Modi, einschließlich exakter Bruchrechnungen und Matrizen, kannst du den [wissenschaftlichen Taschenrechner](/scientific-calculator) verwenden. Läuft zu 100% lokal in deinem Browser, ohne Datei-Uploads zum Server.

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Komplex
Kartesisch
5 + 5i
Polar r∠θ
7.07106781187 ∠ 45
Konjugieren
5 − 5i
Alle Nullstellen
2.45673236351 + 1.01761186409i; -2.45673236351 − 1.01761186409i
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Rechnen mit komplexen Zahlen

OpenStax College Algebra, Complex Numbers (https://openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/2-4-complex-numbers), erklärt das Rechnen in kartesischer Form und die konjugierten komplexen Zahlen. Der Text steht unter der freien Lizenz CC BY 4,0.

Verzweigungen und elementare Funktionen

Kapitel 4 des NIST DLMF (https://dlmf.nist.gov/4) dokumentiert elementare Funktionen und Hauptzweige. Die Ergebnisse hier verwenden Dezimalrechnung; bei Potenzen und Wurzeln können Rundungsfehler auftreten.

So benutzt du es

  1. Gib einen Ausdruck mit i ein, zum Beispiel (1+2i)*(3-i).
  2. Wähle DEG oder RAD und gib einen Wurzelexponenten ein oder einen Polarradius und Winkel.
  3. Lies das kartesische Ergebnis, den Betrag, das Argument, die konjugierte Zahl und alle Wurzeln ab.

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Häufige Fragen

Wie gebe ich imaginäre Zahlen ein?

Setze i hinter eine Zahl, zum Beispiel 2i, oder schreibe 1+2i. Die Multiplikation kann mit einem Operator angegeben oder implizit sein. Setze Summen beim Multiplizieren in Klammern. sqrt(-4) ergibt im Komplex-Modus 2i; der normale Berechnen-Modus lehnt die reelle Quadratwurzel einer negativen Zahl ab.

Was ist das Argument einer komplexen Zahl?

Das Argument ist der Winkel, gemessen von der positiven reellen Achse aus. DEG zeigt Grad und RAD Bogenmaß an. Der angezeigte Hauptwinkel liegt zwischen −180° und 180° oder zwischen −π und π. Die Richtung von null ist mathematisch nicht definiert.

Warum hat eine n-te Wurzel mehrere Ergebnisse?

Eine vollständige Umdrehung ändert eine komplexe Zahl nicht. Wenn du jeden möglichen Winkel durch n teilst, erhältst du für eine von null verschiedene Zahl n unterschiedliche Wurzeln. Die Funktion für eine einzelne Wurzel wählt den Hauptzweig; das Ergebnis „Alle Wurzeln“ listet jeden Zweig auf.

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