Geometriebereich

Kegelvolumen-Rechner

Berechne das Volumen eines Kegels aus Radius und senkrechter Höhe.

Kegelvolumen-Rechner: Berechne den eingeschlossenen Raum eines vollständigen Kreiskegels mithilfe des Grundkreisradius und der senkrechten Höhe. So erhältst du das Volumen der sich verjüngenden Form. Außerdem erfährst du, wie du die senkrechte Höhe von der schrägen Seitenlänge unterscheidest. Läuft zu 100% lokal in deinem Browser, ohne Datei-Uploads zum Server.

Kategorie
Rechner
Ausführungen
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Kosten
Kostenlos · ohne Anmeldung
Verfügbarkeit
Einsatzbereit
TOEA / GEOMETRIEKERN 01Nur im Browser
EINGABEBLATT / 01

Abmessungen

Die Werte bleiben auf diesem Gerät. Berechne neu, nachdem du eine Abmessung geändert hast.

ERGEBNISBLATT / 02

Volumen

94,25 cm³

Verwendete FormelVolumen = π × Radius² × Höhe ÷ 3
ANNAHMEN / VOR DER VERWENDUNG LESEN
  1. Die Höhe wird senkrecht zur kreisförmigen Grundfläche gemessen.
  2. Die Maße werden in derselben Einheit angegeben.
  3. Die Werte müssen endlich und größer als null sein.

Formel und Rechenbeispiel

Volumen = π × Radius² × Höhe ÷ 3

Ein Rechenbeispiel mit Beispielwerten:

Eingaben
Radius3 cm
Höhe10 cm
Ergebnisse
Volumen94,25 cm³

Woher der Faktor ein Drittel kommt

Sei V das Volumen, r der Radius der Grundfläche und h die senkrechte Höhe. V = π × r² × h ÷ 3. Ein Zylinder mit derselben Grundfläche und Höhe hat das Volumen πr²h, aber ein Kegel wird zu seiner Spitze hin kontinuierlich schmaler. Im Abstand x von der Spitze hat ein paralleler Schnitt den Radius rx ÷ h und die Fläche πr²(x ÷ h)². Die Summe dieser Schnitte ergibt ein Drittel des Volumens des entsprechenden Zylinders.

Bei einem Radius von 3 cm und einer Höhe von 10 cm quadrierst du den Radius zu 9 cm², multiplizierst mit π und 10 und erhältst 90π cm³. Anschließend teilst du durch 3. Somit gilt V = 30π = 94,247779… cm³, und das Ergebnis lautet Volumen = 94,25 cm³.

Die Kegelübung mit Schnitten bei OpenStax (https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/2-2-determining-volumes-by-slicing) leitet diesen Faktor her. Die Mantellinie wird bei Oberflächenberechnungen verwendet, nicht direkt in dieser Volumenformel.

Höhe eines geraden Kegels und Dimensionsprüfungen

Der Zusammenhang mit der Mantellinie setzt voraus, dass die Spitze direkt über dem Mittelpunkt der kreisförmigen Grundfläche liegt. Für einen schiefen Kegel ist er keine allgemeine Abkürzung. Bei r = 3 cm und l = 5 cm gilt h = 4 cm und das Volumen beträgt 12π, also etwa 37,70 cm³; die Verwendung von 5 als Höhe würde es überschätzen. Das Volumen hat Kubikeinheiten, weil der Radius quadriert und anschließend mit der Höhe multipliziert wird. Rechne ein Ergebnis in cm³ durch 1.000.000, um m³ zu erhalten. Halte alle Maße auf derselben Skala und runde erst nach der Berechnung.

So benutzt du es

  1. Gib positive Maße in derselben Einheit ein.
  2. Wähle die Einheit, die für jedes Maß verwendet wird.
  3. Berechne das Ergebnis und prüfe anschließend Resultat und Formel.

Datenschutz & Einschränkungen

Alle Werte und Berechnungen bleiben in deinem Browser. Es werden keine Maße hochgeladen oder an einen externen Dienst gesendet.

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Häufige Fragen

Kann ich die schräge Höhe eines Kegels in das Höhenfeld eingeben?

Nein. Bei einem geraden Kreiskegel gilt für die schräge Höhe l, den Radius r und die senkrechte Höhe h: l² = r² + h². Rechne mit h = √(l² − r²) um. Eine schräge Höhe von 5 cm und ein Radius von 3 cm ergeben eine Höhe von 4 cm.

Wie berechne ich den Kegelradius, wenn das Volumen bekannt ist?

Wenn die senkrechte Höhe bekannt ist, gilt r = √(3V ÷ (πh)). Bei V = 30π cm³ und h = 10 cm ergibt sich r = √9 = 3 cm. Ist stattdessen der Radius bekannt, gilt h = 3V ÷ (πr²). Dabei handelt es sich um zwei getrennte Umstellungen, nicht um alternative Eingabemodi.

Funktioniert der Rechner auch für einen Kegel mit abgeschnittener Spitze?

Das Formular beschreibt einen vollständigen Kegel, der in einer Spitze endet. Für einen Kegelstumpf werden beide Endradien benötigt. Berechne sein Volumen separat oder ziehe den entfernten kleinen Kegel vom ursprünglichen vollständigen Kegel ab, wenn die Maße bekannt sind.

Dieses Tool einbetten

Kostenlos auf jeder Website nutzbar. Füge den Code dort ein, wo das Tool erscheinen soll; der Link darunter führt Leser zur vollständigen Seite.

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