几何工作台

圆锥体积计算器

根据半径和垂直高度计算圆锥的体积。📐✨🎉

圆锥体积计算器: 使用圆锥底面半径和垂直高度，计算完整圆锥所包围的空间。这会得到该锥形的体积，并帮助你区分垂直高度与沿圆锥侧面的斜高。完全在浏览器中本地运行，文件不会上传到服务器。

类别: 计算器
使用次数: 在浏览器中
费用: 免费·无需注册
可用性: 可直接使用

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结果表 / 02

体积

94.25 cm³

计算公式体积 = π × 半径² × 高度 ÷ 3

假设 / 使用前请阅读

高度垂直于圆形底面测量。
尺寸使用同一单位测量。
数值必须为有限数，并且大于零。

公式和计算示例

体积 = π × 半径² × 高度 ÷ 3

使用示例值进行计算：

输入值
半径	3 cm
高度	10 cm

结果
体积	94.25 cm³

三分之一因子的由来

设V为体积，r为底面半径，h为垂直高度。V＝π×r²×h÷3。具有相同底面和高度的圆柱体积为πr²h，但圆锥会朝顶点方向持续变窄。在距离顶点x处，平行切片的半径为rx÷h，面积为πr²（x÷h）²。将这些切片相加，就得到对应圆柱体积的三分之一。

半径为3 cm、高为10 cm时，将半径平方得到9 cm²，再乘以π和10，得到90π cm³，最后除以3。因此V＝30π＝94.247779… cm³，结果显示体积＝94.25 cm³。

OpenStax中的圆锥切片练习（https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/2-2-determining-volumes-by-slicing）推导了这一因子。斜高用于表面积计算，不会直接出现在此体积公式中。

直圆锥的高度与量纲检查

斜高关系假定顶点正好位于圆形底面的中心上方。这不是斜圆锥的通用简便算法。当r＝3 cm、l＝5 cm时，h＝4 cm，体积为12π，即约37.70 cm³；如果将5作为高度，结果会被高估。体积使用立方单位，因为半径先平方，再乘以高度。要将cm³结果换算为m³，请除以1,000,000。所有尺寸都应使用相同的尺度，并且只在计算完成后进行四舍五入。

使用方法

输入使用同一单位表示的正数尺寸。
选择所有尺寸使用的单位。
计算后查看结果和公式。

隐私与限制

所有数值和计算过程都保留在你的浏览器中。不会上传尺寸数据，也不会将其发送到外部服务。

常见问题

可以在高度字段中输入圆锥的斜高吗？

不可以。对于直圆锥，斜高l、半径r和垂直高度h满足l² = r² + h²。可使用h = √(l² − r²)进行换算。斜高为5 cm、半径为3 cm时，高度为4 cm。

已知体积时，如何求圆锥半径？

如果已知垂直高度，则r = √(3V ÷ (πh))。当V = 30π cm³且h = 10 cm时，r = √9 = 3 cm。反过来，已知半径时可使用h = 3V ÷ (πr²)求高度。这些是不同的公式变形，不是两种可选的输入模式。

这个工具适用于顶端被截去的圆锥吗？

此表单针对顶点收于一点的完整圆锥。截头圆锥需要两个端面的半径；请单独计算其体积，或者在尺寸已知时，用原完整圆锥的体积减去被截去的小圆锥体积。

嵌入此工具

可在任何网站上免费使用。将代码粘贴到工具应显示的位置；下方的链接可让读者打开完整页面。

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