Geometriebereich
Kugeloberfläche- und Kugelvolumen-Rechner
Berechne die Oberfläche und das Volumen einer Kugel anhand ihres Radius.
Kugeloberfläche- und Kugelvolumen-Rechner: Ermittle anhand des Radius sowohl die äußere Oberfläche als auch den Raum, den eine vollständige Kugel einschließt. Die beiden Ergebnisse zeigen getrennt, wie viel Oberfläche bedeckt werden könnte und welches Volumen die ideale Kugel einnimmt – jeweils mit Quadrat- und Kubikeinheiten. Läuft zu 100% lokal in deinem Browser, ohne Datei-Uploads zum Server.
- Kategorie
- Rechner
- Ausführungen
- In deinem Browser
- Kosten
- Kostenlos · ohne Anmeldung
- Verfügbarkeit
- Einsatzbereit
Oberfläche
314,16 cm²
- Volumen
- 523,6 cm³
Oberfläche = 4πr²; Volumen = 4πr³ ÷ 3- Die Maße werden in derselben Einheit angegeben.
- Die Werte müssen endlich und größer als null sein.
Formel und Rechenbeispiel
Oberfläche = 4πr²; Volumen = 4πr³ ÷ 3
Ein Rechenbeispiel mit Beispielwerten:
| Eingaben | |
|---|---|
| Radius | 5 cm |
| Ergebnisse | |
|---|---|
| Oberfläche | 314,16 cm² |
| Volumen | 523,6 cm³ |
Oberfläche und eingeschlossener Raum verwenden unterschiedliche Potenzen
Sei r der Radius, S die Oberfläche und V das Volumen. S = 4 × π × r², während V = 4 × π × r³ ÷ 3 gilt. Die Oberfläche entspricht dem Vierfachen der Fläche eines Kreises mit dem Radius r. Um das Volumen zu verstehen, schneide die Kugel in Scheiben: Eine Scheibe im Abstand x von ihrem Mittelpunkt hat die Fläche π(r² − x²). Die Summe dieser dünnen Scheiben von −r bis r ergibt 4πr³ ÷ 3.
Bei einem Radius von 5 cm gilt S = 4 × π × 25 = 100π = 314,159265… cm². Angezeigt wird Oberfläche = 314,16 cm². Das Volumen ist V = 4 × π × 125 ÷ 3 = 523,598775… cm³, angezeigt als Volumen = 523,6 cm³.
Die Lektion zur räumlichen Geometrie bei OpenStax (https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/9-6-solve-geometry-applications-volume-and-surface-area) führt beide Kugelformeln auf. Der Ansatz mit den Scheiben wird im Calculus-Lehrbuch weiterentwickelt.
Eine Kugel maßstäblich vergrößern und umrechnen
Eine Verdopplung des Radius einer Kugel vervierfacht ihre Außenfläche, verachtfacht aber den eingeschlossenen Raum. Keine der beiden Größen verdoppelt sich. Für Umrechnungen gilt dieselbe Unterscheidung: 1 m² entspricht 10.000 cm², während 1 m³ 1.000.000 cm³ entspricht. Teile das Beispielvolumen durch 1.000, um etwa 0,523599 Liter zu erhalten. Der SI-Leitfaden des NIST (https://www.nist.gov/pml/special-publication-811/nist-guide-si-chapter-4-two-classes-si-units-and-si-prefixes) nennt Quadratmeter und Kubikmeter als Flächen- beziehungsweise Volumeneinheiten. Das Einheitenmenü rechnet einen bereits eingegebenen Radius nicht um.
So benutzt du es
- Gib positive Maße in derselben Einheit ein.
- Wähle die Einheit, die für jedes Maß verwendet wird.
- Berechne das Ergebnis und sieh dir anschließend das Ergebnis und die Formel an.
Datenschutz & Einschränkungen
Alle Werte und Berechnungen bleiben in deinem Browser. Es werden keine Maße hochgeladen oder an einen externen Dienst gesendet.
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Häufige Fragen
Ist der Radius einer Kugel halb so groß wie ihr gemessener Durchmesser?
Ja. Eine Kugel mit einem Durchmesser von 10 cm hat einen Radius von 5 cm. Wenn du den Durchmesser als Radius verwendest, vervierfacht sich die Oberfläche und verachtfacht sich das Volumen. Prüfe daher vor der Eingabe, welches Maß du hast.
Wie ermittle ich den Radius einer Kugel aus ihrem Volumen?
Stelle V = 4πr³ ÷ 3 nach r = ∛(3V ÷ (4π)) um. Bei einem Volumen von 500π ÷ 3 cm³ beträgt der Ausdruck unter der Kubikwurzel 125 cm³, wodurch sich ein Radius von 5 cm ergibt. Aus der Oberfläche ergibt sich dagegen r = √(S ÷ (4π)).
Beschreibt das Kugelvolumen das Materialvolumen einer hohlen Kugel?
Nein. Es handelt sich um das gesamte Volumen innerhalb des angegebenen Radius. Bei einer hohlen Schale berechnest du die Volumen der äußeren und der inneren Kugel getrennt und ziehst sie voneinander ab. Der innere Radius muss kleiner sein, und die beiden Kugeln müssen die gewünschte Schale beschreiben.
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